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趋势曲线模型预测法 Page 1 of 68 趋势延伸法的应用有两个假设:(1)过去决定预测目标发展的因素在很大程度上仍将决定其未来的发展;(2)预测 目标制定过程一般是一个渐进的变化,而不是跳跃式的变化。第二页,共68页,常见趋势线,直线,指数曲线,二次曲线,三次曲线,修正指数曲线,Gombaz曲线,第三页,第三页68页。, 一阶差分是一个常数: 1. 最小二乘法 最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来估计 a 和 b 的方法。第 4 页,共 68 页 第 5 页,共 68 页 第 5 页,共 68 页 x 数量的影响:对预测结果没有影响 对斜率 b 没有影响 对截距 a 没有影响 第 6 页,共 68 页 如果时间序列有偶数项,则对称编号:...、-5、-3、-1、1、3、5、 ... 如果时间序列有奇数项,则对称编号:..., -2, -1, 0, 1, 2, ... 第7页,共68页 例1 化纤零售额表中1978-1986年某城市化纤零售额为1987年化纤零售额。某城市化纤零售量及其一阶差分单位:万米 解决方法: 1. 选择预测模型计算顺序的一阶差分,列于表中。从计算结果可以看出,一阶差分一般比较接近。因此,可以使用线性预测模型进行预测。2.

年份197819791980198119821983198419851986零售量265297333370405443474508541一阶差分——3236373538313433第八页,共68页某市化纤零售量直线预测模型最小平方法计算表年份t1978-4265-106016264.520.480.23041979-3297-8919299.39-2.395.71211980-2333- 6664334.26-1.261.58761981-1370-3701369.130.870.75691982040500404.0011198314434431438.874.1317.0569198424749484473.740.260.06761985350815249508.61-0.610.372119864541216416543.48-2.486.1504总和036362092603636——32.934第九页,共68页所求直线预测模型为:3、预测以代入预测模型,可预测1987年化纤零售量为:第10页,共68页 2. 贴现最小二乘法 贴现最小二乘法是一种对误差平方和进行加权的方法通过指数折扣到最小值。

其数学表达式为:最近一期误差平方的权重为 ,最远一期误差平方的权重为 。周期 t 的平方误差的权重为 。由于权重越来越小,这意味着最近时期的平方误差没有折扣,而长期的平方误差,越远折扣越大。所以称为贴现最小二乘法。68第11页用贴现最小二乘法估计直线预测模型的参数a和b,这样就可以得到这个公式的偏导数,然后估计值的标准excel标准差​​​​可以得到参数 a 和 b。excel标准差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式1987年化纤零售额(α=0.8)年t零售量n--t1978126580.167844.46744.4670.16780.1678265.791979229770.209762.2809124 .5610.41940.8388300.391980333360.262187.2793261.8370.78632.3589334.991981437050.3277121.249484.9961.31085.2432369.601982540540.4096165.888829.442.04810.24404.201983644330.512226.8161360.893.07218.432438.801984747420. 64303.362123.524.4831.36473.411985850810.8406.43251.206.451.2508.0119869541015414869981542.61 总计 — 3636 — 4.32891958.7413349 2809124.5610.41940.8388300.391980333360.262187.2793261.8370.78632.3589334.991981437050.3277121.249484.9961.31085.2432369.601982540540.4096165.888829.442.04810.24404.201983644330.512226.8161360.893.07218.432438.801984747420. 64303.362123.524.4831.36473.411985850810.8406.43251.206.451.2508.0119869541015414869981542.61 总计 — 3636 — 4.32891958.7413349 2809124.5610.41940.8388300.391980333360.262187.2793261.8370.78632.3589334.991981437050.3277121.249484.9961.31085.2432369.601982540540.4096165.888829.442.04810.24404.201983644330.512226.8161360.893.07218.432438.801984747420. 64303.362123.524.4831.36473.411985850810.8406.43251.206.451.2508.0119869541015414869981542.61 总计 — 3636 — 4.32891958.7413349

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.9727.684200.8403637.8 第 13 页,共 68 页 解决方案:列出计算数据。将计算结果代入公式可得: 解此方程组可得: 线性预测模型为: 将各年的t值代入预测模型,可得到各年的回溯预测值。预测模型与通过平滑技术建立的直线预测模型的比较类似:都遵循事物不断发展的原则,预测目标时间序列数据呈现长期趋势变化,增幅大致相同(减少)每单位时间作为适用条件。区别在于:(1)预测模型的参数计算方法不同。(2)线性预测模型中的时间变量具有不同的值。(3)模式适应市场的灵活性不同。(4) 随着时间的推移,构建模型参数的难易程度会有所不同。直线趋势扩展模型更适用于趋势发展均衡的预测对象的中短期预测;平滑技术建立的线性模型更适用于趋势发展有波动的预测对象的短期和短期预测。第 15 页,共 68 页 第二节 多项式曲线模型预测方法 多项式曲线预测模型的一般形式为: 二次抛物线预测模型为: 二次抛物线预测模型的特征在于二阶差分为常数: 第十六 2. 确定用三点法确定系数。由于这三个参数需要通过三个方程来估计,所以将历史数据分解为三组: 原理:理论值与实际值的偏差的代数和为零,即第17页,一共68页,这三点的选取方法是: 1、当时间序列总项数n≥15时,取序列首尾和中间的5项数据,取3项获得加权平均值。权重从远到近分别为1、2、3、4、5,以平均增加最近信息的权重。这三点的选取方法是: 1、当时间序列的总项数为n≥15时,在序列的首尾和中间取5项数据,取3次加权平均获得。权重从远到近分别为1、2、3、4、5,以平均增加最近信息的权重。这三点的选取方法是: 1、当时间序列的总项数为n≥15时,在序列的首尾和中间取5项数据,取3次加权平均获得。权重从远到近分别为1、2、3、4、5,以平均增加最近信息的权重。

这三个加权平均值用作二次抛物线上三个点的纵坐标。2、如果9≤n≤15,取序列的开始、中间和最近的三个项目,得到三个加权平均值,从远到近的权重分别为1、2、3。如果是偶数,可以删除第一个观察期数据的第十八页。共有 68 页。将初始点、中间点和最近点的坐标设置为 每个观察值是五个项目的加权平均值,三个加权平均值分别为:第 19 页,共 68 页。三点加权平均的坐标为: Page 20 of 68 二次抛物线预测模型的参数估计 二次抛物线预测模型为: 得到的三点坐标必须满足该模型。所以,五项加权平均时:第21页,共68页,求解方程组的估计参数为:同理,使用三项加权平均时,参数估计为:第22页,共共68页 例4 某市1978-1986年某水产品采购量见表。试预测某水产品在1987年的采购量。某市某水产品采购量及其差值单位:万丹年份197819791980198119821983198419851986采购量54.564.176.492.3110.7132.2156.8183.6214.0一阶差__9.61 .918.421.524.626.83 12.23.6 解决方案: 1. 选择一个预测模型。同理,采用三项加权平均时,参数估计为:第22页,共68页 例4 某城市1978-1986年某水产品采购量见表。试预测某水产品在1987年的采购量。某市某水产品采购量及其差值单位:万丹年份197819791980198119821983198419851986采购量54.564.176.492.3110.7132.2156.8183.6214.0一阶差__9.61 .918.421.524.626.83 12.23.6 解决方案: 1. 选择一个预测模型。同理,采用三项加权平均时,参数估计为:第22页,共68页 例4 某城市1978-1986年某水产品采购量见表。试预测某水产品在1987年的采购量。某市某水产品采购量及其差值单位:万丹年份197819791980198119821983198419851986采购量54.564.176.492.3110.7132.2156.8183.6214.0一阶差__9.61 .918.421.524.626.83 12.23.6 解决方案: 1. 选择一个预测模型。

计算序列的一阶和二阶差分列于表中。从计算结果可以看出,二阶差分比较稳定。因此趋势预测模型,可以用二次抛物线预测模型进行预测。2.建立二次抛物线预测模型。该列表计算相关数据。第二十三页,共68页年份年次t收购量yt权数w1978154.5154.554.9620.213441979264.12128.264.7430.413451980376.43229.277.4361.073301981492.3192.393.0430.5520519825110.72221.4111.5630.7447719836132.23396.6132.9950.6320319847156.81156.8157.3410.2926819858183.62367.2184. 6001.000019869214.03642214.7710.59444总计————5.51616第24页,共68页 根据上表数据计算: 代入公式得:第25页,共68页 二次抛物线预测模型为:将当年的t值代入预测模型,即可得到各年的回溯预测值。,共68页参数估计 1.最小二乘法是基于最小二乘法的原理

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,可以得到标准方程组:为了简化计算,可以选择时间序列的中点作为时间原点,这样上述方程组可以简化为:a,b的估计值, c, d 可以由此求解。Page 28 of 68 例3 1974-1986年某省机械表销量如下表所示。Try to predict the sales of watches in 1987. 年份年次t销售量1974-61036-2161296466561975-51125-125625156251976-41216-6425640961977-3149-27817291978-2154-816641979-1161-1111980016000019811141111198221348166419833119278172919844131664256409619855142512562515625198661536216129646656总计017418204550134342第二十九页,共68页-60360-21608.9201.1664-55275 -137511.6920.4789-48192-76813.4962.2380-42126-37814.4980.2480-3060-12014.8630.0188-1616-1614.7581.542600014.34972.723514141413.

从表中数据可以看出,机械表的销量呈现先升后降、后升的发展趋势。2.建立三次抛物线预测模型。该列表计算相关数据。将计算结果代入公式可得: 求解该方程组:第 31 页,共 68 页 3、当预测为 α=0.05,自由度 nm=9 时,查看 t 分布表:将 t=7 代入预测模型,可以得到1987年手表销量的预测值:第32页,共68页的预测区间(简化形式)意味着有95%的把握,1987年全省机械表销量在(14.15, 197,100) 33页,共68页 index 曲线模型预测方法 index 曲线预测模型为:它的特点是链发展速度是一个常数:可以转化为对数直线模型:它的特点是对数的一阶差分是一个常数:page 34 of 68 原理是使Σt= 0,求导:然后求反对数,然后得到a和b的估计值。例5 某市1978—1989年居民储蓄存款余额见表。试预测1990年全市居民储蓄存款余额。第35页,共68页,一个城市居民储蓄存款余额的最小二乘法。040.8506581-7.655857.18161980-79.56134.840.9804649-6.863229.57051981-513.07136.721.1162825-5.5814012.75411982-316.75128.161.224019-3.6720316.99661983-121.62129.071.334861-1. 3348622.65031984128.34131.081.4524011.4524030.18471985339.86140.651.6005494.8016240.22531986554.16135.881.73368258。6684053.60581987774。

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12123.25114126.8673 总计 —————— 17.0092157235.66965 —— 第 36 页,共 68 页 解决方案: 1. 选择预测模型。计算序列的链式发展速度如上表所示。从计算结果可以看出,链的发展速度大体相近,所以可以用指数曲线预测模型来预测。2.建立指数曲线预测模型。该列表计算相关数据。将计算结果代入公式,可得:求反对数,得:所需指数曲线预测模型为: 3.预测。1990年家庭储蓄存款余额预测值为:第37页,共68页 2、两点指数曲线的对数形式为: 将其转化为直线预测模型:若n≥10,在序列的第一个和最后两个取每端五个项目的加权平均值,如果 6≤n0)(a0)(a1) 则可以得到估计的参数值 第 41 页,共 68 页 由于一阶差分修正指数曲线预测模型是指数函数的形式,所以从指数曲线预测模型的特点可以看出修正指数曲线预测模型的特点是一阶的链比差异是一个常数。第42页,共68页 3.4 修正指数曲线拟合法 2. 参数确定方法:(1)分组平均法(三点法),(2)3n个观测值的三和法(如果9个数据n=3 ),取时间如下:nnnn①②③第43页,共68页3。4 修正指数曲线拟合法 将三组左右相加,得到①②③③公式-②公式④公式,②公式-①公式⑤公式④⑤将⑥公式代入⑤公式⑥第44页,共68页 例7某市某家电销售量来自1977年至1985年为表中要求,测试预测为1986年、1987年该类家用电器的销售量。年份年次t销售量一阶差分一阶差分环比(%)1977197819790124.604.905.14——0.300.24————80.004.60314.89975.13731980198119823455.335.485.600.190.150.1279.1778.9480.005.32775.48015.60231983198419856785.705.785.840.100.080. 0683.3380.0075.005.70025.77865。8418 第 45 页,共 68 个解决方案: 1. 选择预测模型。计算序列一阶差分的环比列于表中,可以知道,一阶差分的环比基本上是一个常数。因此,可以用修正的指数曲线预测模型进行预测。2.建立修正指数曲线预测模型。n=3 将计算结果代入k、a、b的计算公式 比摩擦阻力计算公式 重复性计算公式 下载六西格码计算公式 下载六西格码计算公式 下载结构力学静力计算公式 页面所需的修正指数曲线预测模型68 是: 3. 预测。经过 n=3 将计算结果代入k、a、b的计算公式 比摩擦阻力计算公式 重复性计算公式 下载六西格码计算公式 下载六西格码计算公式 下载结构力学静力计算公式 页面所需的修正指数曲线预测模型68 是: 3. 预测。经过 n=3 将计算结果代入k、a、b的计算公式 比摩擦阻力计算公式 重复性计算公式 下载六西格码计算公式 下载六西格码计算公式 下载结构力学静力计算公式 页面所需的修正指数曲线预测模型68 是: 3. 预测。经过

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将t=9和t=10分别代入预测模型,1986年和1987年该类家电销售量的预测值分别为:表示该类家电已处于饱和状态. Page 47 of 68 生长曲线(S-curve)预测法 技术和经济的发展过程类似于生物学的发展过程,要经历发生、发展和成熟三个阶段。每个阶段的发展速度是不同的。一般来说,在发生阶段,变化速度比较慢;在发展阶段,变化速度加快;在成熟阶段,变化速度又趋于缓慢。或增长曲线,又称逻辑增长曲线。因为这种曲线通常类似于“S” 形状,也称为 S 曲线。现在,S曲线已广泛应用于描述和预测个体生物的生长发育和一些技术经济特征的领域。第 48 页,共 68 页 第 49 页,共 68 页 数学家 Gombert 首先提出了一个用于控制人口增长率的数学模型。它的预测模型是:求它的一阶和二阶导数,结合起来,可以得到曲线拐点的位置:01ytka>1, 01, b>1 特征:对数后的一阶增长纵坐标的链比系数为常数b。第51页,共68页 参数估计对数形式: 令上式变为: 根据修正指数曲线估计参数的方法,得到b的计算公式,

它们是总数据分成三等份后各部分的总和。第52 页,共68 页 示例8 1976 年至1984 年某省拥有的小型拖拉机数量见表。1985年和1986年小拖拉机保有量检验预测。某省小拖拉机保有量Gombaz曲线预测模型计算表单位:t千年保有量一阶差环比(% ) relative error (%) 19761977197801225.85032.80444.4771.41251.51591.6481——0.10340.1322 ————127.8524.23234.48545.1336.2505.124-1.47519791980198134556.00264.96072.0801.74821.81261.85780.10010.06440.045275.7264.3470.1955.41464.80173.0151.0500.245- 1.29719821983198467880.28285.83589.9001.90461.93371.95380.04680.02910.0201103.5362.1869.0779.97185.71990.3780.3870。135-0.532 第 53 页,共 68 页

可用:求反对数,得到:所需的 Gombaz 曲线预测模型为: 3. 预测。分别代入t=9和t=10,1985年和1986年小拖拉机保有量的预测值分别为: 第54页,共68页 预测模型为:求它的一阶和二阶导数,有一个组合,可以得到曲线拐点的位置为第55页,共68页,因为Logisian曲线的倒数是修正的指数曲线。因此,根据修正指数曲线的参数估计方法,可以得到b、a、k的计算公式: 第56页,共68页 例9 某省1969-1987年人口统计数据见表,尝试预测1990年全省总人口。

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780186718431818178817601730-31-24-25-30-28-300.910.711.041.200.931.075321.15415.65501.15604.55698.75792.60.6330.2100.016-0.206-0.312-0.218198119821983198419851986121314151617588459876075616662536346170016701646162215991576-30-30-24-24-23-231.001.000.801.000.951. 005886.35979.76072.76165.26257.26348.7-0.0390.1220.0380.013-0.067-0.043 第 57 页,共 68 页 解决方案: 1. 选择预测模型。计算总人口的倒数一阶差的链比,并列于表中。从计算结果可以看出,倒数一阶差分的链比一般比较接近。因此,可以使用 Logisian 曲线预测模型进行预测。2.建立Logisian曲线预测模型。将计算结果代入k、a、b的计算公式,可以得到:第58 页,共68 页 所需的Logisian 曲线预测模型为: 3. 预测。将t=21代入预测模型,可以得到1990年全省总人口的预测值:预测模型中的万人,即模型对一个省总人口的预测的渐近值。

第59页,共68页 第68页,共68页 例如甘肃省社会消费品零售总额分析预测,第61页,从表格和图表中可以看出总量变化情况共68页甘肃省社会消费品零售额呈现增长趋势。根据直觉判断,变化趋势与三种模型大致相似。因此采用了三种曲线模型,A指数曲线模型B,二次曲线模型C,三次曲线模型,采用最小二乘法估计参数,得到的模型为第60页,共68个第 3 页。模型分析。首先进行历史数据分析。三个模型的拟合结果与实际值图对比如下,做出直观判断。可以看出,二次曲线和三次曲线的拟合效果更好。同时,分别计算三种模型的预测精度。在这里,我们使用常用的均方误差和平均绝对百分比误差进行比较。分析表明,二次曲线和三次曲线的拟合效果较好,三次曲线的拟合效果较好。其次,分析未来趋势表现的程度。随着市场经济的深入和西部大开发的实施,甘肃经济发展水平将不断提高,人民生活水平也将得到改善,这决定了商品零售总额将不断增加。该模型反映了上升趋势,与未来社会零售总额趋势一致,可用于预测。Page 63 of 68 Page 64 of 68 4. 预测 根据选择的模型,计算预测值,预测结果如表所示。表格预测结果表65,共68页1、我国1978-1995年小麦单产已知数据见表,尝试确定小麦单产修正指数曲线方程,并找出每年的单产趋势值,预测2000年小麦单产。

年份单位面积产量(kg/公顷)年份单位面积产量(kg/公顷)1978184519872985197921451988297019801890198930451981211519903195198224451991310519832805199233311984297019933519198529401994342619863045199535421978-1995年小麦单位面积产量数据表第六十六页,共68页用直线模型拟合数据,并用合适的方法估计参数199719981999200020012002200395001020010930116701238013090137803,某烟糖企业历年卷烟销售数据如下表所示: 2、根据第一个问题中的数据,尝试确定小麦单位面积产量的Gompertz曲线方程,求出各年单产趋势值,预测2000年小麦单产。 第67页趋势预测模型,共68页 4. 某市摄像机销售数据见表,指数曲线模型用于预测2006年城市的需求。年销售额 (y) 1999220020003500200157002002980020036400200427000200543300 第 68 页,共 68 页